用数学知识解答物理问题的难点分析

无锡市山明中学   范嘉萍

提要：目前大部分学生在解物理题目中常会碰到许多难点，特别不善于应用数学知识（如：几何图形、函数图形、比例方法、不等式、方程组）来解答物理问题。本文通过例题的分析、比较和求解，说明了利用数学知识解答物理问题简洁、迅束、准确，可以突破难点，旨在使学生在学习物理中用好、用活数学这个工具。

    数学和物理两门学科有着密切的联系。数学是学习物理的必备工具，中学物理教学大纲明确指出：“要重视基础练习性的计算题”，显然数学对学习物理有着重要作用。然而笔者在多年的中学物理教学中发现许多数学成绩很好的学生物理成绩并不冒尖，常常出错的地方就是不会利用数学知识来解决物理问题，数学知识的应用成为物理老师教学的难点，也成为学生学习物理的难点。仔细分析一下，存在以下几点问题。

    一、不善用几何图形来解答物理问题

    有些物理问题虽是简单，但物理量之间的关系却很复杂，如果我们借助一些几何图形，就既直观又简单、迅速、准确，而初中学生往往不会想到几何知识在物理学中也有用。

　例1. 如图1所示，杠杆OA可绕固定

点O转动，B处挂重物G，A处作用一竖直向

为维持杠杆平衡则有 [     ]

上的力F，当杠杆和竖直墙之间的夹角增大时，

     A. F大小不变，但F>G    B. F逐渐增大，但F>G

     C. F逐渐减小，但F<G    D. F大小不变，但F<G

    此题乍看起来，F是会变化的。其实只要作出G、F的力臂OC、OD，就可以看出△OBC∽△OAD，则有 又根据杠杆平衡G·OC=F·OD，即： ，由图1可知 的值不变，故F不变。

    又OB<OA ， 得：F<G ，      故答案选D 。

    例2. 如图2所示，某人在河岸

上用跨过滑轮的绳子匀速拉在湖中的小船，

假设湖面是平静的，绳子的运动速度为V_绳，

船的运动速度为V_船，则[    ]

    A. V_船= V_绳    B. V_船< V_绳     C. V_船> V_绳     D. 无法判断

    本题粗看起来，使小船运动的力的方向为AC，而船运动的方向是AB，用力方向与船的运动方向不在一直线上，故目前知识还不能解决。其实应用“三角形两边长之差小于第三边长”来解题，就简单了。

    设t秒钟后，小船从A运动到B，则在t秒内，小船通过的距离为AB，而绳子通过的距离是AC-BC的长。

    由于V_船=     ，      V_绳= 　。

    又因为在△ABC 中 AC-BC<AB

所以V_船> V_绳  ，         故选答案C　。

   从上面两个题中可以看出利用几何知识（如：三角形的知识、线段的比例关系等）帮助解答物理问题能突破难点，更简洁、更有效。

    二、不善于用比例法来解答物理问题

    中学物理习题中，求解某物理量的之比的问题屡见不鲜，这类习题对于学生来说是比较难的，大多数学生感到头痛，无从下手，即使猜出来了，也往往出现错误。

    例3. 有一矿石在空气中用弹簧秤读数为2.7牛中，浸没在水中时弹簧秤读数为1.7牛，浸没在某种液体中时弹簧秤读数为1.5牛，求这种液体的密度。

    对于此题，学生一般分好几步来解题：

    ⑴用称重法求矿石在水中所受浮力的大小F₁=2.7牛-1.7牛

    ⑵利用阿基米德原理，解出矿石排开水的体积V_排水=F₁/（ρ_水g）

    ⑶利用称重法求矿石在某中液体中所受的浮力F₂=2.7牛-1.5牛

    ⑷由于V_排水=V_排液=V_石

       ⑸利用阿基米德原理求出ρ_液=F₂/（gV_排液）

    显然这样比较繁杂，因而常常出错，如果运用比列法来求解，那就简单的多了。

    设矿石浸没在水中和浸没在某种液体中所受的浮力为F₁和F₁。

    F₁=ρ_水gv₁ ① ，            F₂=ρ_液gv₂　②

    因为 V₁= V₂ 

    代入数据得：

    所以液体的密度ρ_液=1.2×10³千克/米³

     例4. 如图3所示，电源电压为U，

R₁=12欧，R₂=6欧，开关S闭合后，电流

表A₁与A₂的读数之比 [    ]

    A. 1：3     B. 3：1    C. 2：3    D. 3：2 .

   一般学生都能分析出A₂表测总电流I，A₁表测通过R₂的电流I₂，于是首先求并联电路总电阻R，再根据分流特点 求出结果，由于并联电路的总电阻的求解比较繁杂，常会出错。现利用比例法求解这一难点会解决。

    根据并联电路的分流特点：

    由比例性质得：

    又因为I=I₁+I₂     所以 ，     故选答案C。

   表面上看这种解法没有占多大的优势，其实这些比例都可以用口算解得。

    三、不善于列不等式或不等式组解答物理问题

    在解取值范围或极值的一些题目中学生们一般都很难想到利用不等式和不等式组来解题，仅是寻找一个特殊数据按公式计算，因而经常出现漏掉某些方面的错误。

    例5. 物体在离凸透镜12厘米处，在凸透镜另一侧20厘米处成一个放大的实像，则透镜的焦距大约是（    ）

    A、12厘米<f<20厘米            B、6厘米<f<10厘米

    C、10厘米<f<32厘米            D、6厘米<f<12厘米

    这个题目一般学生感觉很难，不会具体列式解答，只会选用一些特殊数据，套用凸透镜成像规律凑合，或干脆猜，还有些同学仅考虑到成放大的实像，物距U符合条件：f<U<2f，即f<12厘米<2f，得到6厘米<f<12厘米，答案是D的错解。其实还应该考试到像距V符合条件：v>2f，所以是一个不等式组的问题。

    因为f<U<2f       即：f<12厘米<2f       ①

        v>2f          即：20厘米>2f         ②

    由①式得：f<12厘米；f>6厘米；

    由②式得：f<10厘米；

    所以结论是6厘米<f<10厘米，    故答案应选B。

例6. 如图4所示，电源电压为12伏，

R₁=12欧，滑动变阻器R₂的变化范围为

0~20欧，如果电流的量程为0~0.6安，

电压表的量程为0~6伏，为使两表不烧

坏。求滑动变阻器R₂的取值范围。

关于此题，学生一般有三种错误解法：                 

错解1. 仅考虑电流表的最大量程为0.6安，于是R=   

        R₂=R-R₁=20欧-12欧=8欧     

        所以电阻R₂大于8欧或小于8欧

错解2.仅考虑电压表的最大量程为6伏

       于是，U₁= U - U ₂=12伏-6伏=6伏      

        I= = =0.5安

        R₂= =12欧             

        所以电阻R₂大于或小于12欧

错解3. 两表的量程都考虑了，所以解得，R₂=8欧，R₂^‘=12欧，但无法选取值范围。

    对这些问题学生解题困难不大，主要是不会选取值范围，其实同学们是不善于根据两表的量程范围利用到不等式组来选取值范围，如会利用不等式组的解来选取值范围，这就不会成为难点。

不等式组：I= ≤0.6安            得： R₂≥8欧    

          U₂=I₂R₂= R₂≤6伏              R₂≤12欧

    所以R₂的取值范围是：  8欧≤R₂≤12欧

    例7. 将一额定功率为2瓦的灯L₁，与定值电阻R及电流表串联后接入电压为U（保持不变）的电源上，灯L₁正常发光，电流表示数为0.2安。若将灯L₁换成额定电压与L₁相同，额定功率为5瓦的灯L₂，要使灯L₂实际消耗的功率小于1.8瓦，则电源电压范围应是    伏，电阻R的范围应       欧。

    这个题为中考题，学生的得分率很低，出错的主要原因是没有注意题中“实际的功率小于1.8瓦”及“电压范围”和“电阻范围”，因而没有（有些学生根本不知道）列不等式解题，仅用等式计算，结果空格填写了纯数字，其实应该这样解：

    根据题意画出图5、图6

    解：由题意得，二灯的额定电压U₂=U₁= = =10伏

         L₁电阻R₁= = =50欧

         L₂电阻R₂= = =20欧

        图6中，由题意得：P_实=I_实² R₂<1.8瓦

        即： R₂<1.8瓦      ①

        由图5得：U=I₁（R₁+R）  ②

        将②式代入①式得：∴ R₂<1.8瓦

        即： 20欧<1.8瓦

        最后解得：R>40瓦

                  U>18伏

        故题中 空格中应填写“大于18”和“大于40”

    四、不善于列方程或方程组解答物理问题

    数学中的解方程在物理解题中运用非常普遍和重要，在教学中常常发现很多多学生不善于列方程来解题，有些学生列出了方程在解方程中不是很繁锁，就是解不出方程，表现出数学知识不能在物理中灵活应用。

    例8. 有一只装满水的瓶子，称得其质量是0.5千克，装满密度是0.8×